Ligando os pontos:o papel da intuição na compreensão de conceitos do Cálculo e da Análise

Recentemente, estava refletindo a respeito de funções e cheguei acidentalmente a uma conclusão, que pensei ser trivial, devido a obviedade das ideias envolvidas.Todavia, depois de algumas pesquisas, realizadas com o objetivo de verificar a correção de minhas ideias, essas mesmas ideias me apareceram enunciadas em um teorema, conhecido como teorema da inversão.A priori, isto não implicaria na negação de que de fato a conclusão é trivial: um teorema não possui o mesmo lugar no imaginário de matemáticos ou de amantes da matemática  que possui uma teoria...Por outro lado, um teorema passa a ser interessante quando outras conclusões, tão gerais quanto se almeja,  são passíveis de serem derivadas de suas afirmações, o que é o caso aqui.
 Sem mais delongas, eis a minha conclusão: seja f:[a,b]→R contínua e injetiva, então f é  estritamente crescente ou estritamente decrescente.  Eu estava pensando em termos geométricos, por exemplo, imaginei que o gráfico de uma tal função contínua não tem saltos no eixo y,isto é, não possui vãos no eixo y.Nas próximas linhas descrevo o pensamento que me ocorreu.
 Considere dois valores representando a altura de dois pontos quaisquer dessa função, digamos y_1 e y_2, logo, podemos supor sem perda de generalidade que y_2 > y_1, pois devido a função ser injetora, não pode admitir dois pontos em lugares diferentes no gráfico com a mesma altura.Temos dois casos a considerar: ou o ponto de altura y_1 está a esquerda de y_2 ou o contrário, como o raciocínio aplicado aos dois casos é análogo, vamos supor que y_1 esteja a esquerda de y_2.Isto implica que entre os pontos de altura  y_1 e y_2 não existe um ponto de altura y_3 que tenha altura maior do que  y_2, dado que para que isso ocorresse haveria pelo menos mais um ponto passando por y_2, isto deve-se ao fato da  função ser contínua, passando necessariamente por todos os pontos entre y_1 e y_3, ora, mas se a função passa por todos os pontos entre y_1 e y_3 ela não pode ser injetora, já que estaríamos admitindo que temos dois pontos de altura y_2 em diferentes lugares no plano.Suponha agora que exista um ponto de altura y_4 que esteja entre os pontos de altura y_1 e y_2, tal que y_4 seja menor que y_1, isto é y_4<y_1<y_2, é um absurdo pois como a função é contínua deve passar por todos os pontos entre y_4 e y_2, e isto implica que estaria passando por y_1, o que é absurdo,uma vez que passaria duas vezes por y_1.Devido aos raciocínios anteriores, chegamos a uma conclusão, se uma função é contínua e injetiva, então, tomando dois pontos arbitrários de coordenadas (x_1,y_1) e (x_2,y_2) desta função, todos os pontos contidos no intervalo (x_1,x_2) estão entre y_1 e y_2.Por essas ideias, se  tomarmos dois pontos quaisquer, digamos  (x_n,y_n) e (x_m,y_m) , qualquer ponto entre x_n e x_m está entre y_n e y_m, isto significa que o formato da função é crescente ou decrescente.