Trigonometria pura e aplicações e um pouco além:problemas de Olimpíadas

Neste post quero apenas deixar um link de texto, onde resolvo problemas de olimpíadas e provo desigualdades trigonométricas do triângulo, eis aí os link para um  texto intitulado  Israel's Handbook.Link para o texto: Trigonometria pura e aplicações e um pouco além:problemas de Olimpíadas
Palavras chaves:
Desigualdade Erdös Mordell, Desigualdade de Pedoe, desigualdade de Hadwiger Finsler,  desigualdade de Weitzenböck, Desigualdade de Barrow, Desigualdade IMO, Olimpíada Interbacional de Matemática, Bijeção e funções trigonométricas, Fórmula da reflexão de Euler, Função Gamma, Fatorial, Números complexos e somatórios, Somas telescópicas, Perturbação de somatórios, IME(Instituto Militar de Engenharia), ITA(Instituto Tecnológico da Aeronáutica), OBM (Olimpíada Brasileira de Matemática).

Ligando os pontos:o papel da intuição na compreensão de conceitos do Cálculo e da Análise

Recentemente, estava refletindo a respeito de funções e cheguei acidentalmente a uma conclusão, que pensei ser trivial, devido a obviedade das ideias envolvidas.Todavia, depois de algumas pesquisas, realizadas com o objetivo de verificar a correção de minhas ideias, essas mesmas ideias me apareceram enunciadas em um teorema, conhecido como teorema da inversão.A priori, isto não implicaria na negação de que de fato a conclusão é trivial: um teorema não possui o mesmo lugar no imaginário de matemáticos ou de amantes da matemática  que possui uma teoria...Por outro lado, um teorema passa a ser interessante quando outras conclusões, tão gerais quanto se almeja,  são passíveis de serem derivadas de suas afirmações, o que é o caso aqui.
 Sem mais delongas, eis a minha conclusão: seja f:[a,b]→R contínua e injetiva, então f é  estritamente crescente ou estritamente decrescente.  Eu estava pensando em termos geométricos, por exemplo, imaginei que o gráfico de uma tal função contínua não tem saltos no eixo y,isto é, não possui vãos no eixo y.Nas próximas linhas descrevo o pensamento que me ocorreu.
 Considere dois valores representando a altura de dois pontos quaisquer dessa função, digamos y_1 e y_2, logo, podemos supor sem perda de generalidade que y_2 > y_1, pois devido a função ser injetora, não pode admitir dois pontos em lugares diferentes no gráfico com a mesma altura.Temos dois casos a considerar: ou o ponto de altura y_1 está a esquerda de y_2 ou o contrário, como o raciocínio aplicado aos dois casos é análogo, vamos supor que y_1 esteja a esquerda de y_2.Isto implica que entre os pontos de altura  y_1 e y_2 não existe um ponto de altura y_3 que tenha altura maior do que  y_2, dado que para que isso ocorresse haveria pelo menos mais um ponto passando por y_2, isto deve-se ao fato da  função ser contínua, passando necessariamente por todos os pontos entre y_1 e y_3, ora, mas se a função passa por todos os pontos entre y_1 e y_3 ela não pode ser injetora, já que estaríamos admitindo que temos dois pontos de altura y_2 em diferentes lugares no plano.Suponha agora que exista um ponto de altura y_4 que esteja entre os pontos de altura y_1 e y_2, tal que y_4 seja menor que y_1, isto é y_4<y_1<y_2, é um absurdo pois como a função é contínua deve passar por todos os pontos entre y_4 e y_2, e isto implica que estaria passando por y_1, o que é absurdo,uma vez que passaria duas vezes por y_1.Devido aos raciocínios anteriores, chegamos a uma conclusão, se uma função é contínua e injetiva, então, tomando dois pontos arbitrários de coordenadas (x_1,y_1) e (x_2,y_2) desta função, todos os pontos contidos no intervalo (x_1,x_2) estão entre y_1 e y_2.Por essas ideias, se  tomarmos dois pontos quaisquer, digamos  (x_n,y_n) e (x_m,y_m) , qualquer ponto entre x_n e x_m está entre y_n e y_m, isto significa que o formato da função é crescente ou decrescente. 

O produto infinito do seno:uma perspectiva pessoal

Neste post, quero apenas deixar um pdf de uma demonstração que fiz, onde demonstro o produto infinito do seno de Euler.O produto infinito do seno é muito importante na história da matemática, e a demonstração original de Euler continha erros conceituais apontados por vários matemáticos, entretanto, foi demonstrado mais tarde que o resultado obtido por Euler estava correto.O objetivo inicial de Euler não era encontrar um produto para a função seno, mas resolver o conhecido problema da Basiléia. Euler foi capaz de resolver não apenas este problema, como também encontrou uma fórmula fechada para todos os valores pares da função zeta de Riemann, formulada com esse nome anos depois de sua morte, por conteporâneos de Riemann.No mais, espero que gostem da solução.Ei aqui o pdf:
Produto infinito do seno

Análise Complexa:O teorema da convergência dominada de Lebesgue e a série de Taylor do seno

Este artigo ainda está em construção.